题目内容

如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,
2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp
∵PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,
∴xp=x,yp=
2
y
∵P是圆x2+y2=2上的动点,
∴x2+2y2=2;
(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,坐标为(1,0)
∴|MA|+|MF1|=2
2
+|MA|-|MF2|≤2
2
+|AF2|=2
2
+
3

当A,F2,M三点共线,且M在AF2延长线上时,取等号
直线AF2的方程为x+
y
2
=1
,与椭圆方程联立,解得x=
4+
6
5
,y=
2
-2
3
5

∴所求最大值为2
2
+
3
,此时M的坐标为(
4+
6
5
2
-2
3
5
).
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