Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）求函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-2|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的值域；
（2）设g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，若关于x的方程g（x）+2=0有两个不同的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos2x，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4cos²x，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=2cosx，f（x）=2（cosx-1）²-3，由cosx∈[0，1]，即可得出函数f（x）的值域．
（2）g（x）+2=2cos²x+2tcosx+1，若关于x的方程g（x）+2=0有两个不同的实数解，令cosx=u∈[0，1]，F（u）=2u²+2tu+1，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4{t}^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2t}{4}＜1}\\{F（0）≥0}\\{F（1）≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$=1．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}$•sin$\frac{x}{2}$=cos2x，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+2cos2x=4cos²x，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=2cosx，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-2|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=cos2x-4cosx
=2cos²x-4cosx-1
=2（cosx-1）²-3，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，
∴f（x）∈[-3，-1]．
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x+2tcosx，
∴g（x）+2=2cos²x+2tcosx+1，
若关于x的方程g（x）+2=0有两个不同的实数解，
令cosx=u∈[0，1]，
F（u）=2u²+2tu+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{t}^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2t}{4}＜1}\\{F（0）≥0}\\{F（1）≥0}\end{array}\right.$，
∴t∈$[-\frac{3}{2}，-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、和差公式、倍角公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．