题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知动点
到定点
的距离与到定直线
的距离之比为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知为定直线
上一点.
①过点作
的垂线交轨迹
于点
(
不在
轴上),求证:直线
与
的斜率之积是定值;
②若点的坐标为
,过点
作动直线
交轨迹
于不同两点
,线段
上的点
满足
,求证:点
恒在一条定直线上.
【答案】(1)(2)①直线
与
的斜率之积为定值
.
②点在定直线
上.
【解析】试题分析:(1)设动点坐标,直接利用轨迹方程定义计算即可;(2)
,
①令,由
,得
,即
,即
,又因为点
在椭圆
上,所以
,而
的斜率分别为
,于是
,即直线
与
的斜率之积为定值
; ②令
,则
,代入椭圆,消元即可证明点
在定直线
上.
试题解析:(1)设,则
,点
到直线
的距离
,
由,得
,化简得
,
即点在轨迹
的方程为
;
(2)因为为直线
上一点,所以令
,
①令,由
,得
,即
,即
,
又因为点在椭圆
上,所以
,
而的斜率分别为
,
于是,
即直线与
的斜率之积为定值
.
②令,则
,
令点,则
,
即,即
由①×③,②×④,得,
因为在椭圆
上,所以
,
⑤×2+⑥×3,得
,即
,
所以点在定直线
上.
本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出
即可,注意
的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出
,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目