Question

【题目】如图，已知矩形ABCD所在平面与等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M为线段AE的中点．
（Ⅰ） 证明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ） 求MC与平面DEC所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面BEC，
所以AB⊥平面BEC，故AB⊥EC．
因为BE⊥EC，所以EC⊥平面ABE，
故EC⊥BM．
因为AB=BE，M为AE的中点，所以AE⊥BM．
所以BM⊥平面AEC．
解：（Ⅱ）如图，将几何体ABCDE补成三棱柱AFD﹣BEC，
设EF的中点为G，连结MG，GC．
因为MG∥BE，所以MG⊥平面DEC．
因此∠MCG为MC与平面DEC所成的角．
不妨设AB=2，则AB=BE=EC=2，
因此MG=1， ， ，
故 ，
所以MC与平面DEC所成的角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由已知推导出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能证明BM⊥平面AEC．（Ⅱ）将几何体ABCDE补成三棱柱AFD﹣BEC，设EF的中点为G，连结MG，GC，推导出∠MCG为MC与平面DEC所成的角，由此能求出MC与平面DEC所成的角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．