题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AB,AD⊥DC,∠DAC=60°,PA=AC=2,AB=1.
(1)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
(2)在线段CP上是否存在一点E,使得DE⊥PB,若存在,求线段CE的长度,不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:以A为坐标原点,以AB,AC,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,2),A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(﹣ ,
,0).
∴ =(0,2,﹣2),
=(1,0,﹣2),
=(0,2,0).
显然 =(0,2,0)为平面PAB的法向量.
设平面PBC的法向量为 =(x,y,z),
则 ,
=0,
∴ ,令z=1,得
=(2,1,1).
∴ =2,|
|=
,|
|=2.
∴cos< ,
>=
=
.
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为
(2)解:过E作EF⊥AC于F,∴EF∥PA,∴EF=FC.
设EF=h,则E(0,2﹣h,h).
∴ =(
,
-h,h),
=(1,0,﹣2).
∵DE⊥PB,∴ =
﹣2h=0,解得h=
.
∴CE= h=
.
【解析】(1)以A为原点建立空间直角坐标系,求出平面PAB和平面PBC的法向量,则法向量的夹角与二面角的大小相等或互补;(2)作EF⊥AC于F,则EF=FC,设EF=h,求出E点坐标得出 的坐标,令
=0解出h,从而得出CE.
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