题目内容
【题目】已知椭圆
上的点到它的两个焦的距离之和为
，以椭圆
的短轴为直径的圆
经过这两个焦点，点
， 
分别是椭圆
的左、右顶点．
（
）求圆
和椭圆
的方程．
（
）已知
， 
分别是椭圆
和圆
上的动点（
， 
位于
轴两侧），且直线
与
轴平行，直线
， 
分别与
轴交于点
， 
．求证： 
为定值．
【答案】（
）
； 
；（
）见解析．
【解析】试题分析：
（1）根据椭圆定义知
，又
，因此易求得
，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；
（2）设出
， 
，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量
，并计算数量积
，结果为0，可得
．
试题解析：
（
）依题意
，得
， 
，
∴圆方程
，椭圆
方程
．
（
）设
， 
，
∴
， 
， 
，
∵
方程
，令
时， 
，
方程为
，令
得
，
∴
， 
，
∴
，
∴
．
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