题目内容
【题目】已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为
,以椭圆
的短轴为直径的圆
经过这两个焦点,点
,
分别是椭圆
的左、右顶点.
()求圆
和椭圆
的方程.
()已知
,
分别是椭圆
和圆
上的动点(
,
位于
轴两侧),且直线
与
轴平行,直线
,
分别与
轴交于点
,
.求证:
为定值.
【答案】()
;
;(
)见解析.
【解析】试题分析:
(1)根据椭圆定义知,又
,因此易求得
,得椭圆方程,从而也得到圆的方程;
(2)设出,
,分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式,写出直线AP的方程,求出M点坐标,同理写出BP方程,求出N点坐标,再求得向量
,并计算数量积
,结果为0,可得
.
试题解析:
()依题意
,得
,
,
∴圆方程,椭圆
方程
.
()设
,
,
∴,
,
,
∵方程
,令
时,
,
方程为
,令
得
,
∴,
,
∴,
∴.
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