Question

18．已知函数f（x）=2cos x（sin x+cos x）．
（1）求f（$\frac{5π}{4}$）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
（3）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=2，a=2，B=$\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算即可；
（2）先化简函数，再求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
（3）求出A，c，b，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）f（$\frac{5π}{4}$）=2cos$\frac{5π}{4}$（sin$\frac{5π}{4}$+cos$\frac{5π}{4}$）=2．
（2）f（x）=2cos x（sin x+cos x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
最小正周期T=π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{3}{8}$π+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ（k∈Z）
∴单调递增区间是[-$\frac{3}{8}$π+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]（k∈Z）．
（3）f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{4}$）+1=2，∴A=$\frac{π}{2}$，
∵a=2，B=$\frac{π}{3}$，∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．