题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,离心率为
.设过点
的直线
与椭圆
相交于不同两点
,
周长为
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点,证明:当直线
变化时,总有TA与
的斜率之和为定值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意列出关于 、
、
的方程组,结合性质
, ,求出
、
、
,即可得结果;(II) 当直线
垂直于
轴时,显然直线
与
的斜率之和为0; 当直线
不垂直于
轴时,设
的方程为
与椭圆方程联立,根据两点间的斜率公式及韦达定理将
用参数
表示,化简消去
即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由已知条件得,所以
椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)当直线垂直于
轴时,显然直线
与
的斜率之和为0;
当直线不垂直于
轴时,设
的方程为
,
与椭圆方程联立得
则,
,其中
恒成立。
=
=
因为=
所以
综上:直线与
的斜率之和为定值.
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