Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函数图象过点（1，5），
（1）求实数m的值，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）在[1，2]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）将点（1，5）带入f（x）便可得到m=4，从而得到f（x）=$x+\frac{4}{x}$，容易得出f（x）为奇函数；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而判断f（x₁），f（x₂）的关系，这便可得出f（x）在[1，2]上的单调性．

解答 解：（1）f（x）的图象过点（1，5）；
∴5=1+m；
∴m=4；
∴$f（x）=x+\frac{4}{x}$；
f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x$-\frac{4}{x}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（2）设x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵1≤x₁＜x₂≤2；
∴x₁-x₂＜0，1＜x₁x₂＜4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上单调递减．

点评 考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，奇函数的定义，函数单调性的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．