题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形
,
,
平面
,
是棱
上的一点.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
是
的中点,
,
,且二面角
的正弦值为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析(2)或4
【解析】
(1)先证明,结合
,推出
平面
,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;
(2)以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角公式建立
的关系式,求解即可.
(1)因为平面
,
平面
,所以
,
又,
,
所以平面
,
又平面
,所以平面
平面
;
(2)以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系:
则,
,
,
,
,
,
由(1)知平面
,故
,
又是
的中点,
,
,且
,
∴平面
,
∴平面的一个法向量为
,
∵,
∴,
∴,
设平面的法向量为
,
则且
,
∴且
,
∴,令
,则
,
∴平面的一个法向量
,
∵二面角的正弦值为
,
∴,
∴,
∴或4.
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