题目内容
【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C的焦点作直线l,交抛物线C于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为6,求|AB|.
【答案】(1)y2=4x;(2)14
【解析】
(1)运用抛物线的准线方程,得到p=2,进而得到抛物线的方程;
(2)设直线l为:x=my+1,与抛物线联立,得到韦达定理,结合中点坐标,即得解m,再利用|AB|=x+x'+p,即得解弦长.
(1)由抛物线的准线得:1,∴p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;
(2)由(1)得焦点F(1,0),又由题意得,显然直线的斜率不为零,
设直线l为:x=my+1,A(x,y),B(x',y'),
联立直线l与抛物线的方程得:
y2﹣4my﹣4=0,
y+y'=4m,x+x'=m(y+y')+2=4m2+2,
由题意得:4m2+2=26=12,
∴|AB|=x+x'+p=12+2=14,
所以弦长|AB|为14.
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