题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)若在区间
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,对
分四种情况讨论,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)令
,原问题等价于
在区间
上恒成立,因为
,要想
在区间
上恒成立,只需
,可得
当
时,利用导数研究函数的单调性,从而求出
,进而可得结论.
试题解析:(Ⅰ)
,
①当,即
时,
时,
,
时,
,
所以在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
②当,即
时,
和
时,
,
时,
,
所以在区间
上单调递减,在区间
和
上单调递增;
③当,即
时,
和
时,
,
时,
,
所以在区间
上单调递减,在区间
和
上单调递增;
④当,即
时,
,所以
在定义域
上单调递增;
综上:①当时,
在区间
上单调递减,在区间
和
上单调递增;
②当时,
在定义域
上单调递增;
③当时,
在区间
上单调递减,在区间
和
上单调递增;
④当时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(Ⅱ)令
,
原问题等价于在区间
上恒成立,可见
,
要想在区间
上恒成立,首先必须要
,
而,
另一方面当时,
,由于
,可见
,
所以在区间
上单调递增,故
,所以
在区间
上单调递减,
∴成立,故原不等式成立.
综上,若在区间
上恒成立,则实数
的取值范围为
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