Question

13．已知$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$．对（判断对错）

Answer 1

分析 根据题意，对|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|两边平方，得出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，从而得出命题正确．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|+${|\overrightarrow{b}|}^{2}$，
∴2|$\overrightarrow{a}$×|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-1；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线且反向，
即存在实数λ，使得$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，命题正确．
故答案为：对．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长的应用问题，是基础题目．