Question

1．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π，S_n为数列{b_n}的前n项和，若对任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）等式两边同除以2ⁿ⁺¹，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，即可证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）分类讨论，求和，利用对任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，求实数λ的取值范围．

解答 （1）证明：∵a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列，
∵a₁=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴a_n=n•2ⁿ；
（2）解：n为奇数时，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-n；n为偶数时，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$•cos（n+1）π=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n；
∴n为奇数2k-1时，S_n=-1+2-3+4+…-n=（k-1）-（2k-1）=-k；
n为偶数2k时，S_n=-1+2-3+4+…+n=k；
对任意x∈N^*．S_n＜λn²恒成立，则-k＜λ（2k-1）²，∴λ＞-1；
或k＜λk²，∴λ＞1，
∴λ＞1．

点评 本题考查等差数列的证明、通项、求和的求解，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．