Question

2．已知由正数组成的数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且满足S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，则a_n=2n-1．

Answer 1

分析 通过S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，利用4S_n=（a_n+1）²、4S_n+1=（a_n+1+1）²两式作差，计算可知数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，
∴4S_n=（a_n+1）²，4S_n+1=（a_n+1+1）²，
两式相减得：4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²
=[（a_n+1+1）-（a_n+1）][（a_n+1+1）+（a_n+1）]
=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）
=${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$+2（a_n+1-a_n），
∴2（a_n+1+a_n）=${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案为：2n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．