题目内容
【题目】已知函数,若
的图象上相邻两条对称轴的距离为
,图象过点
.
(1)求的表达式和
的递增区间;
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.若函数
在区间
上有且只有一个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
的递增区间为
,
.(2)
【解析】
(1)由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数,相邻两条对称轴的距离为,可得周期,从而得
,再代入坐标
得
;
(2)由三角函数图象变换得,题意转化为
的图象与直线
在
上只有一个公共点,结合函数图象易得结论.
(1),
的最小正周期为
,∴
.
∵的图象过点
,∴
,∴
,
即.
令,
,
,
,
故的递增区间为
,
.
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度,可得
的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.
∵,∴
,∴
,故
在区间
上的值域为
.
若函数在区间
上有且只有一个零点,
即函数的图象和直线
只有一个公共点,
如图,
根据图象可知,或
,即
.
故实数的取值范围是
.

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