题目内容
【题目】已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过圆上任意一点
作圆
的切线
,
与椭圆
交于
两点,以
为直径的圆是否过定点,如过,求出该定点;不过说明理由.
【答案】(1)(2)坐标原点
【解析】
试题分析:(1)由题意得直角三角形为等腰直角三角形,所以,再根据面积得
,解得
(2)先探索:以
为直径的圆过坐标原点,再以算代证:设
,则只需证明
,设
方程
,则只需证
,由直线与圆相切可得
,再联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理给予证明.
试题解析:(I)因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以
,
故椭圆
的方程为
,
(Ⅱ)圆的方程为
,设
为坐标原点
当直线的斜率不存在时,不妨设直线AB方程为
,
则,所以
所以为直径的圆过坐标原点
当直线的斜率存在时,设其方程设为
,设
因为直线与相关圆相切,所以
联立方程组得
,
即,
,
所以为直径的圆恒过坐标原点
.
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