题目内容
【题目】对于定义域为的函数
,如果存在区间
,同时满足:
①在
上是单调函数;
②当定义域是时,
的值域也是
.
则称是该函数的“等域区间”.
(1)求证:函数不存在“等域区间”;
(2)已知函数(
,
)有“等域区间”
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数不存在“等域区间”;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设是已知函数定义域的子集,得
或
,得函数
在
上单调递增,由
是已知函数的“等域区间”,得
无实数根,即可证明结论;(2)设
是已知函数定义域的子集,得函数
在
上单调递增,根据题意得
的同号的相异实数根,利用二次函数的性质,即可求解实数
的取值范围.
试题解析:(1)设是已知函数定义域的子集.
∵,∴
,或
,
故函数在
上单调递增.
若是已知函数的“等域区间”,则
故、
是方程
的同号的相异实数根.
∵无实数根,
∴函数不存在“等域区间”.
(2)设是已知函数定义域的子集,
∵,∴
或
,
故函数在
上单调递增.
若是已知函数的“等域区间”,则
故、
是方程
,即
的同号的相异实数根.
∵,∴
,
同号,故只需
,
解得,
∴实数的取值范围为
.
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