题目内容
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，
)，且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值．
（1）
＝1（2）见解析
【解析】
(1)设椭圆C的方程为
＝1(a>b>0)．由题意得
解得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的方程为＝1.
(2)证明：由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，
)，则直线PB的方程为y－
＝k(x－1)．由
得(2＋k2)x2＋2k(
－k)x＋(
－k)2－4＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xB＝1·xB＝
，
同理可得xA＝
，
则xA－xB＝
，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝
.
所以kAB＝
＝
为定值
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