Question

【题目】函数

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，且，求证：

Answer 1

【答案】(1) 时， 在上单减，在上单增； 时， 在上单减，在和上单增; 时， 在上单增;(2)见解析.

【解析】试题分析：(1) ，分类讨论，研究的符号情况，进而得到函数的单调区间;(2) 设函数有两个极值点，且， 、是的二根 ，若证成立，只需证对恒成立.设，研究其最值即可.

试题解析：

解： 的定义域是,

(1)由题设知，

令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线．

在时，当，即时， ，即在上恒成立．

②当，即时，由得

令，

则，

1) 当即，即时，

时， ，即, 时， ，即

2) 当时，即，即时

时， ，即

或时， ，即

综上:

时， 在上单减，在上单增；

时， 在上单减，在和上单增; 时， 在上单增．

(2)若函数有两个极值点，且

则必是，则，则，

且在上单减，在和上单增，

则

、是的二根

，即，

若证成立，只需证

即证对恒成立

设

当时， ， ，

故,故在上单增

故

对恒成立