Question

已知函数f(x)＝4x³＋3tx²－6t²x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②当t≠0时，求f(x)的单调区间．

Answer 1

①6x＋y＝0②在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．

①t＝1时，f(x)＝4x³＋3x²－6x，f′(x)＝12x²＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.
②t≠0时，f′(x)＝12x²＋6tx－6t²＝6(2x²＋tx－t²)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t<x<，
∴f(x)在(－∞，－t)上递增，在上递减．在上递增，
若t<0，则由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得<x<－t.
∴f(x)在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．