题目内容
【题目】设数列的前n项和为
,已知
,
(
).
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若数列满足:
,
.
① 求数列的通项公式;
② 是否存在正整数n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)数列为等比数列,首项为1,公比为2.(2)
,
【解析】
(1)由题设的递推关系式,得到(
),即可证得数列
为等比数列.
(2)① 由(1)知,,化简得
,则数列
是首项为1,公差为1的等差数列,即可求得
.
②利用乘公比错位相减法,求得,进而得到
,显然当
时,上式成立,设
,由
,所以数列
单调递减,进而得到结论.
(1)解:由,得
(
),
两式相减,得,即
(
).
因为,由
,得
,所以
,
所以对任意
都成立,
所以数列为等比数列,首项为1,公比为2.
(2)① 由(1)知,,
由,得
,
即,即
,
因为,所以数列
是首项为1,公差为1的等差数列.
所以,
所以.
② 设,
则,
所以,
两式相减,
得
,
所以.
由,得
,即
.
显然当时,上式成立,
设(
),即
.
因为,
所以数列单调递减,
所以只有唯一解
,
所以存在唯一正整数,使得
成立.
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