题目内容
【题目】已知关于x的方程,
(1)若方程有两个正根,求:m的取值范围;
(2)若方程有两个正根,且一个比2大,一个比2小,求m的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)方法一,一元二次方程有两个正根,两根之积、之和均取正值,用韦达定理表示,再加判别式大于等于0即可;方法二,构造函数,转化为二次函数的根的分布问题,要结合二次函数图象来解。由结合二次函数图象且方程有两个正根,可知函数图象开口向下,故只需满足,解不等式组即可;(2)构造函数,由结合二次函数图象且方程有两个正根,可知函数图象开口向下,由方程有两个正根,且一个比2大,一个比2小,可得,解不等式组即可。
方法一,因为方程有两个正根,所以 ,解得或。所以,m的取值范围为。
方法二,令 ,因为 ,方程有两个正根,所以函数的图象一定开口向下,所以
,解得或。所以,m的取值范围为。
(2)令 ,因为 ,方程有两个正根,所以函数的图象一定开口向下,所以
,解得 ,所以,m的取值范围为。
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