Question

16．求下列函数的最值：
（1）f（x）=x³-3x²+6x-2（-1≤x≤1）；
（2）f（x）=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出导数，判断单调性，即可得到最值；
（2）求得函数的定义域，设x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），则函数y=sinα+$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），运用正弦喊话说的图象和性质，即可得到所求最值．

解答 解：（1）f（x）=x³-3x²+6x-2的导数为f′（x）=3x²-6x+6
=3（x-1）²+3＞0，即有区间[-1，1]为增区间，
则f（-1）为最小值，且为-12，最大值为f（1）=2；
（2）由1-x²≥0可得-1≤x≤1，
设x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），则函数y=sinα+$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$
=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$，可得-$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
当α=$\frac{π}{4}$时，sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，函数取得最大值$\sqrt{2}$；
当α=-$\frac{π}{2}$时，sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数取得最小值-1．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数和三角换元的方法，考查运算的能力，属于中档题．