Question

2．已知函数f（x）=|lgx|，若$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，则b所在区间为（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 画出函数f（x）=|lgx|的图象，①设$\frac{a+b}{2}≥1$，由$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，则-lga=lgb=2$lg\frac{a+b}{2}$，可得b=$（\frac{\frac{1}{b}+b}{2}）^{2}$，化为：f（b）=b⁴-4b³+2b²+1=0，（b＞1）．利用导数研究其单调性即可得出；②设0＜$\frac{a+b}{2}$＜1，同理可得．

解答 解：画出函数f（x）=|lgx|的图象，
①设$\frac{a+b}{2}≥1$，∵$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，
则-lga=lgb=2$lg\frac{a+b}{2}$，
ab=1，可得a=$\frac{1}{b}$，
则b=$（\frac{\frac{1}{b}+b}{2}）^{2}$，
化为：f（b）=b⁴-4b³+2b²+1=0，（b＞1）．
f′（b）=4b（b²-3b+1）=4b$（b-\frac{3+\sqrt{5}}{2}）$$（b-\frac{3-\sqrt{5}}{2}）$，
可知：当b∈（1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）时，f′（b）＜0，f（b）的单调递减；当b$＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，f′（b）＞0，f（b）的单调递增．
由f（1）=0，可知：$f（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）$＜0，而f（3）=-8＜0，f（4）=33＞0，
∴此时存在唯一零点b∈（3，4）．
②设0＜$\frac{a+b}{2}$＜1，∵$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，
则-lga=lgb=-2$lg\frac{a+b}{2}$，
∴ab=1，$\frac{1}{b}$=$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
化为：f（b）=b⁴+2b²-4b+1=0，（2＞b＞1）．
f′（b）=2（2b³+b-2）＞0，
可知：当b∈（1，2）时，函数f（b）的单调递增．
由f（1）=0，f（b）＞0，此时函数f（b）不存在零点．
综上可得：b所在区间为（3，4）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．