Question

（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意代入式子计算即可；
（2）把a₂，a₃表示为a₁的式子，通过对a₁的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于a₁的方程，解出即可；
（3）假设这样的等差数列存在，则a₁，a₂，a₃成等差数列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），分情况①当a₁＞2时②当0＜a₁≤2时③当a₁≤0时讨论，由（*）式可求得a₁进行判断；③当a₁≤0时，由公差d＞2可得矛盾；

解答：解：（1）由题意，代入计算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；
（2）a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|，
①当0＜a₁≤2时，a₃=2-（2-a₁）=a₁，
所以a12=(2-a1)2，得a₁=1；
②当a₁＞2时，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，
所以a1(4-a1)=(2-a1)2，得a1=2-

2

（舍去）或a1=2+

2

．
综合①②得a₁=1或a1=2+

2

．
（3）假设这样的等差数列存在，那么a₂=2-|a₁|，
a₃=2-|2-|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），
以下分情况讨论：
①当a₁＞2时，由（*）得a₁=0，与a₁＞2矛盾；
②当0＜a₁≤2时，由（*）得a₁=1，从而a_n=1（n=1，2，…），
所以{a_n}是一个等差数列；
③当a₁≤0时，则公差d=a₂-a₁=（a₁+2）-a₁=2＞0，
因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m-1）＞2，
此时d=a_m+1-a_m=2-|a_m|-a_m＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a₁=1时，a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列．

点评：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．