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(2013•上海)已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)-b 是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3-3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)=log2
2x4-x
 图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)-b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
分析:(1)先写出平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,由于函数y=x3-3x是奇函数,利用题设真命题知,函数g(x)图象对称中心.
(2)设h(x)=log2
2x
4-x
 的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)-b是奇函数,从而求出a,b的值,即可得出图象对称中心的坐标.
(3)此命题是假命题.举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)-b,即y=x+a-b总不是偶函数.修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.
解答:解:(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,
由于函数y=x3-3x是奇函数,由题设真命题知,函数g(x)图象对称中心的坐标是(1,-2).
(2)设h(x)=log2
2x
4-x
 的对称中心为P(a,b),
由题设知函数h(x+a)-b是奇函数.
设f(x)=h(x+a)-b,则f(x)=log2
2(x+a)
4-(x+a)
-b,
即f(x)=log2
2x+2a
4-x-a
-b

由不等式
2x+2a
4-x-a
>0
的解集关于原点对称,则-a+(4-a)=0,得a=2.
此时f(x)=log2
2(x+2)
4-(x+2)
-b,x∈(-2,2).
任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,
所以函数h(x)=log2
2x
4-x
 图象对称中心的坐标是(2,1).
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象,
但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)-b,即y=x+a-b总不是偶函数.
修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”.
点评:本小题主要考查命题的真假判断与应用,考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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