Question

（2013•上海）已知抛物线C：y²=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足

AP

=-2

FA

．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由

AP

=-2

FA

得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；
（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q^′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q^′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．

解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x_A，y_A），则

AP

=(x-xA，y-yA)，
因为F的坐标为（1，0），所以

FA

=(xA-1，yA)，
由

AP

=-2

FA

，得（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
即

x-xA=-2(xA-1) y-yA=-2yA

，解得

xA=2-x yA=-y

代入y²=4x，得到动点P的轨迹方程为y²=8-4x．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q^′（x，y），
则

y x-t =- 1 2 y 2 =x+t

，解得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．
若Q^′在C上，将Q^′的坐标代入y²=4x，得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（-

15

4

，0）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．