题目内容
【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=
(1)求证:PB=PD;
(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1) 记AC∩BD=O,连结PO,易证PO⊥AC,结合平面PAC⊥底面ABCD,可得到PO⊥底面ABCD,从而得到PO⊥BD,则有PB=PD;(2) 以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量n,设
,可得到点
的坐标,即可表示出
,由
=0,可求出
及
,设
,可表示出点
及
,由
,可求出
,从而可求出
。
(1)证明:记AC∩BD=O,连结PO,
底面ABCD为正方形,
OA=OC=OB=OD=2.
PA=PC,
PO⊥AC,
平面PAC∩底面ABCD=AC,PO平面PAC,
PO⊥底面ABCD.
BD底面ABCD,
PO⊥BD.
PB=PD.
(2)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知OP=2.
可得P(0,0,2),A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),
可得,M(0,-1,1), N(0,1, 1).,
.
设平面的法向量n=
,
,
,
令,可得n=
.
记,可得
,
,
=0,可得,
,解得
.
可得,.
记,可得
,
,若DQPH,则
,
,解得
.故
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示,下列关于
的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时,
的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.
【题目】10月1日,某品牌的两款最新手机(记为型号,
型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到下表:
手机店 |
|
|
|
|
|
| 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
| 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(Ⅰ)若在10月1日当天,从,
这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有一部为
型号手机的概率;
(Ⅱ)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用型号手机销量超过
型号手机销量的手机店的个数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(III)经测算,型号手机的销售成本
(百元)与销量(部)满足关系
.若表中
型号手机销量的方差
,试给出表中5个手机店的
型号手机销售成本的方差
的值.(用
表示,结论不要求证明)
【题目】已知椭圆C:(
)的左右焦点分别为
,
.椭圆C上任一点P都满足
,并且该椭圆过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,过点A作x轴的垂线,交该椭圆于点M,求证:
三点共线.
【题目】已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品,且每生产1件正品可获利20元,生产1件次品损失30元,甲,乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
甲每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
对应的天数/天 | 40 | 20 | 20 | 10 | 10 |
乙每天生产的次品数/件 | 0 | 1 | 2 | 3 |
对应的天数/天 | 30 | 25 | 25 | 20 |
(1)将甲每天生产的次品数记为(单位:件),日利润记为
(单位:元),写出
与
的函数关系式;
(2)如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率,记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和,求随机变量
的分布列和数学期望.