题目内容
【题目】已知函数.
Ⅰ
若曲线
在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
Ⅱ
若对于
都有
成立,试求a的取值范围;
Ⅲ
记
当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数b的取值范围.
【答案】解: (I) 直线的斜率为1.
函数的定义域为
,
因为,所以
,所以
.
所以.
.
由解得
;由
解得
.
所以的单调增区间是
,单调减区间是
. ……………………4分
(II),
由解得
;由
解得
.
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
所以当时,函数
取得最小值,
.
因为对于都有
成立,
所以即可.
则. 由
解得
.
所以的取值范围是
. ………………………………8分
(III)依题得,则
.
由解得
;由
解得
.
所以函数在区间
为减函数,在区间
为增函数.
又因为函数在区间
上有两个零点,所以
解得.
所以的取值范围是
. ……………………………………13分
【解析】
Ⅰ
求出函数的定义域,在定义域内,求出导数大于0的区间,即为函数的增区间,求出导数小于0的区间即为函数的减区间;
Ⅱ
根据函数的单调区间求出函数的最小值,要使
恒成立,需使函数的最小值大于
,从而求得a的取值范围;
Ⅲ
利用导数的符号求出单调区间,再根据函数
在区间
上有两个零点,得到
,解出实数b的取值范围.
Ⅰ
直线
的斜率为1,函数
的定义域为
,
因为,所以,
,所以,
.
所以,,
由
解得
;由
解得
.
所以的单调增区间是
,单调减区间是
.
Ⅱ
,由
,解得
;由
解得
.
所以,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
所以,当时,函数
取得最小值,
因为对于
都有
成立,
所以,即可
则
由
解得
.
所以,a的取值范围是.
Ⅲ
依题得
,则
.
由解得
; 由
解得
.
所以函数在区间
为减函数,在区间
为增函数.
又因为函数在区间
上有两个零点,所以
,
解得所以,b的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目