题目内容
【题目】已知椭圆
：
，点
为椭圆外一点，过点向椭圆作两条切线，当两条切线相互垂直时，点在一个定圆上运动，则该定圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
设点
，分两种情况讨论，一是直线
的斜率存在且非零时，得出
；二是当直线的斜率不存在或斜率等于零时，P
也符合上述关系，从而求得结果.
设点，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
，则有直线的方程为
，
与椭圆方程联立得：
，
整理得：
，
因为直线与椭圆相切，所以
，
即
，
，
因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则有
，
而
为方程
的两根，
故
，整理得：；
当直线的斜率不存在或斜率等于零时，易得点P的坐标为，显然也满足方程，
综合以上讨论得，对任意的两条互相垂直的切线，点P的坐标均满足方程，
故所求的定圆的方程为.
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