Question

【题目】已知函数，对任意，都有.

（1）求实数m的取值范围；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)求得的导数,讨论0<m≤1, m> 1时,判断导数的符号,可得单调性,结合不等式恒成立，可得m的范围；

（2）由题意可得恒成立，令，求，再令求其导数，判断单调性，求得h (x) 的零点，进而得到g (x) 的单调性和最值，可得实数的取值范围.

（1），当时，因为，，

则，在上是增函数，

所以恒成立，满足题设；

当时，在上是减函数，则时，

不合题意，综上，.

（2）时，恒成立，∴恒成立，

∴令，则，

∴令，

∴，即在上单调递增.

又，时，，

∴，使.

当时，，，

当时，，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

从而，而，

∴，

故，

∴.