题目内容

【题目】设函数 = .

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数有两个零点.

(1)求满足条件的最小正整数的值;

(2)求证: .

【答案】(Ⅰ)的单调增区间为,单调减区间为

(Ⅱ)(1)3;(2)见解析.

【解析】试题分析:

(Ⅰ)求单调区间,只要求得导数,通过讨论的范围()可解不等式和不等式,从而得单调区间;

(Ⅱ)(1)求得,由有两个零点得 的最小值为,且, 由此可得,由函数是增函数,通过估值可得最小正整数的值;(2)证明,设,由,可把表示,不等式中的可替换,然后变形为的不等式,设,则,只要证相应地关于的不等式在上成立,这又可用导数研究相应的函数得出.

试题解析:

(Ⅰ)

时, 上恒成立,所以函数单调递增区间为

此时 无单调减区间.

时,由,得 ,得

所以函数的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)(1)

因为函数有两个零点,所以,此时函数单调递增, 在单调递减.

所以的最小值,即.

因为,所以.

,显然上为增函数,且

,所以存在.

时, ;当时, ,所以满足条件的最小正整数.

又当时, ,所以时, 有两个零点.

综上所述,满足条件的最小正整数的值为3.

(2)证明 :不妨设,于是

所以.

因为,当时, ,当时,

故只要证即可,即证明

即证

也就是证.

,则.

因为,所以

当且仅当时,

所以上是增函数.

,所以当总成立,所以原题得证.

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