Question

【题目】的三个内角的对边长分别为，是的外接圆半径，则下列四个条件

（1）； （2）；

（3）； （4）.

有两个结论：甲：是等边三角形； 乙：是等腰直角三角形.

请你选出给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题__________．

Answer 1

【答案】甲或乙或乙

【解析】由(1)(2)为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：

证明：由(a+b+c)(a+bc)=3ab，变形得：a2+b2+2abc2=3ab,即a2+b2c2=ab，

则，又C为三角形的内角，∴C=60°，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0，

∵π<BC<π，∴BC=0，即B=C，则A=B=C=60°，∴△ABC是等边三角形；

以(2)(4)作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：

证明：化简得：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosCcosBsinC=sin(BC)=0，∵π<BC<π，∴BC=0，即B=C，∴b=c，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：，

代入得：，

整理得：,即，∴，

∴a2=2b2,又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形；

以(3)(4)作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：

证明：由正弦定理得：，

代入得：，

整理得：,即，,又，

又b=acosC，c=acosB，根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，∴2B=2C，即B=C，则三角形为等腰直角三角形。

故 甲或乙或乙