题目内容
【题目】如图,已知圆经过椭圆
的左右焦点
,与椭圆
在第一象限的交点为
,且
,
,
三点共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设与直线(
为原点)平行的直线交椭圆
于
两点,当
的面积取取最大值时,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 ,再由条件得
为圆
的直径,且
,根据勾股定理求出
,根据椭圆的定义和
依次求出
的值,代入椭圆方程即可;
(2)由(1)求出的坐标,根据向量共线的条件求出直线
的斜率,设直线
的方程和
的坐标,联立直线方程和椭圆方程消去
,利用韦达定理和弦长公式求出
,由点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离,代入三角形的面积公式求出
,化简后求最值即可.
试题解析:(1)∵,
,
三点共线,∴
为圆
的直径,且
,
∴.由
,得
,∴
,∵
, ∴
, ∴
,
.
∵,∴
,∴椭圆
的方程为
. (2)由(1)知,点
的坐标为
,∴直线
的斜率为
,故设直线
的方程为
,将
方程代入
消去
得:
, 设
∴
,
,
,
∴
, 又:
=
,∵点
到直线
的距离
, ∴
,
当且仅当,即
时等号成立,此时直线
的方程为
.
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