Question

18．已知函数$f（x）=3sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，其中0＜ω＜2．若点$（-\frac{π}{6}，0）$为函数f（x）图象的一个对称中心．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的周期和单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$f（{-\frac{π}{6}}）=0$，从而得$-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，结合范围0＜ω＜2即可求得ω的值．
（2）由（1）可得$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，根据三角函数的周期性及其求法可求周期，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可解得单调增区间．

解答 （本小题共13分）
解：（1）点$（-\frac{π}{6}，0）$为函数f（x）图象的一个对称中心
⇒$f（{-\frac{π}{6}}）=0$，即：$sin（-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}）=0$…（3分）
⇒$-\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$
⇒ω=1-3k，k∈Z…（6分）
又因为0＜ω＜2，
所以ω=1．…（7分）
（2）由（1）知ω=1，则$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，
所以$T=\frac{2π}{2}=π$…（9分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}kπ$…（11分）
函数f（x）的单调增区间为$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]，k∈Z$． …（13分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．