Question

【题目】已知数列{an}中，a1= ，an= （n≥2，n∈N+）．
（1）求a2 ， a3 ， a4的值，并猜想数列{an}的通项公式an ．
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解： a1= ，an= ，

∴a2= = ，a3= = ，a4= = ，

猜想：an= ，

（2）解：：①当n=1时，猜想成立，

②假设n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak= ．

那么n=k+1时，ak+1= = =

∴当n=k+1时猜想仍成立．

根据①②，可以断定猜想对任意的n∈N*都成立．

【解析】（1）由题意a1= ，an= （代入计算，可求a2、a3、a4值，并根据规律猜想出数列{an}的通项公式；（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理，以及对数学归纳法的定义的理解，了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．