题目内容

【题目】已知为椭圆上的三个点为坐标原点.

(1)所在的直线方程为,求的长;

(2)为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.

【答案】(1);(2)定值为

【解析】

试题(1)因为所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程消去y,得到关于x的一元二次方程,可以解得两个交点的坐标的横坐标确定点的坐标,从而根据两点的距离公式求出弦长.

(2)直线与圆的位置关系,首先考虑直线的斜率是否存在,做好分类的工作.若当斜率存在时,通过联立方程,应用韦达定理知识,求出弦长,利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积(含斜率的等式).再根据的关系求出点P的坐标,带到椭圆方程中,即可求出含斜率的一个等式,从而可得结论.

试题解析:(1)

解得

所以两点的坐标为所以.

(2)是椭圆的右顶点(左顶点一样),则

因为在线段上,所以,求得

所以的面积等于.

若B不是椭圆的左、右顶点,设

所以,的中点的坐标为

所以,代入椭圆方程,化简得.

计算.

因为点的距离

所以,的面积.

综上,面积为常数.

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