题目内容
【题目】已知为椭圆上的三个点,为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为,求的长;
(2)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
【答案】(1);(2)定值为
【解析】
试题(1)因为求所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,可以解得两个交点的坐标的横坐标,确定点的坐标,从而根据两点的距离公式求出弦长.
(2)直线与圆的位置关系,首先考虑直线的斜率是否存在,做好分类的工作.若当斜率存在时,通过联立方程,应用韦达定理知识,求出弦长,利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积(含斜率的等式).再根据的关系求出点P的坐标,带到椭圆方程中,即可求出含斜率的一个等式,从而可得结论.
试题解析:(1)由 得,
解得或,
所以两点的坐标为和所以.
(2)①若是椭圆的右顶点(左顶点一样),则,
因为,在线段上,所以,求得,
所以的面积等于.
②若B不是椭圆的左、右顶点,设,,
由 得
,,
所以,的中点的坐标为,
所以,代入椭圆方程,化简得.
计算.
因为点到的距离
所以,的面积.
综上,面积为常数.
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