Question

【题目】如图一，在直角梯形中，分别为的三等分点，, ，，，若沿着折叠使得点和重合，如图二所示，连结.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

取的中点分别为，连结,,可得四边形为平行四边形,则,由,利用面面垂直的性质和线面垂直的性质及判定即可得证.

由,把点到平面的距离转化为点到平面的距离,利用等体积法,通过代数运算间接求出点到平面的距离即可.

（1）证明:取的中点分别为，连结,如图，

则且，

又因为且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

所以.

因为为中点，三角形为等边三角形，

所以，

因为平面平面,平面平面,

故平面，因为，

所以平面，

又因为平面,

故平面平面；

（2）因为，

又因为平面,平面,

故平面，

故点到平面的距离等于点到平面的距离.

由（1）知三棱锥的体积，

，，

故,

在中，，

取中点，连结，

则，

故，

设点至平面的距离为，

所以三棱锥的体积，

由于，则，即，

故点到平面的距离为.