题目内容
【题目】如图一,在直角梯形中,
分别为
的三等分点,
,
,
,
,若沿着
折叠使得点
和
重合,如图二所示,连结
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
取
的中点分别为
,连结
,
,可得四边形
为平行四边形,则
,由
,利用面面垂直的性质和线面垂直的性质及判定即可得证.
由
,把点
到平面
的距离转化为点
到平面
的距离,利用等体积法
,通过代数运算间接求出点
到平面
的距离即可.
(1)证明:取的中点分别为
,连结
,
如图,
则且
,
又因为且
,
所以且
,
故四边形为平行四边形,
所以.
因为为
中点,三角形
为等边三角形,
所以,
因为平面平面
,平面
平面
,
故平面
,因为
,
所以平面
,
又因为平面
,
故平面平面
;
(2)因为,
又因为平面
,
平面
,
故平面
,
故点到平面
的距离等于点
到平面
的距离.
由(1)知三棱锥的体积
,
,
,
故,
在中,
,
取中点
,连结
,
则,
故,
设点至平面
的距离为
,
所以三棱锥的体积
,
由于,则
,即
,
故点到平面
的距离为
.

【题目】为了响应国家号召,某校组织部分学生参与了“垃圾分类,从我做起”的知识问卷作答,并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关?
(2)在成绩合格的学生中,利用性别进行分层抽样,共选取9人进行座谈,再从这9人中随机抽取5人发送奖品,记拿到奖品的男生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】2019年10月5日, 美国NBA火箭队总经理莫雷公开发布涉港错误言论,中国公司与明星纷纷站出来抵制火箭队,随后京东、天猫、淘宝等中国电商平台全线下架了火箭队的所有商品,当天有大量网友关注此事,某网上论坛从关注此事跟帖中,随机抽取了100名网友进行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按留言条数分成6组:,
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图;并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表:
一般关注 | 强烈关注 | 合计 | |
男 | 60 | ||
女 | 5 | 40 | |
合计 | 100 |
(1)补全列联表中数据,并判断能否有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关?
(2)现已从男性网友中分层抽样选取了6人,再从这6人中随机选取2人,求这2人中至少有1人属于“强烈关注”的概率.
附:,其中
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:)平均在
之间即为正常体温,超过
即为发热.发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型:低热:
;高热:
;超高热(有生命危险):
.某位患者因患肺炎发热,于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下:
抗生素使用情况 | 没有使用 | 使用“抗生素A”疗 | 使用“抗生素B”治疗 | |||||
日期 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 |
体温( | 38.7 | 39.4 | 39.7 | 40.1 | 39.9 | 39.2 | 38.9 | 39.0 |
抗生素使用情况 | 使用“抗生素C”治疗 | 没有使用 | |||||
日期 | 20日 | 21日 | 22日 | 23日 | 24日 | 25日 | 26日 |
体温( | 38.4 | 38.0 | 37.6 | 37.1 | 36.8 | 36.6 | 36.3 |
(I)请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值;
(II)在19日—23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查,记X为高热体温下做“a项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望;
(III)抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.
【题目】为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对名男生和
名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表:
上网时间(分钟) | |||||
人数 | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
表2:女生上网时间与频数分布表:
上网时间(分钟) | |||||
人数 | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
(1)若该大学共有女生人,试估计其中上网时间不少于
分钟的人数;
(2)完成表3的列联表,并回答能否有
的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”?
(3)从表3的男生中“上网时间少于分钟”和“上网时间不少于
分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为
的样本,再从中任取两人,求至少有一人上网时间超过
分钟的概率.表3:
上网时间少于60分钟 | 上网时间不少于60分钟 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:,其中
,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |