Question

5．已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项和为185．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}通项满足b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，试求数列{b_n}的通项公式和前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．由等差数列的通项公式和求和公式，列方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得数列{b_n}通项公式，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=8}\\{{S}_{10}=185}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=185}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=3}\end{array}\right.$，
等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n+2；              
（2）b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$=3•2ⁿ+2，
前n项的和由分组求和可得S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（3•2+2）+（3•2²+2）+…+（3•2ⁿ+2），
=3（2+2²+…+2ⁿ）+2n=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2n
=6（2ⁿ-1）+2n．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．