Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

）；
（3）记P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}，且P∩Q=∅，求c的取值范围．

Answer 1

分析：先判断函数的单调性．
（1）由函数的单调性即可求解．
（2）（3）由函数的定义域及函数的单调性求解．

解答：解：设-1≤x₁＜x₂≤1，则x₁-x₂≠0，
∴

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0．
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁）+f（-x₂）＜0．
∴f（x₁）＜-f（-x₂）．
又f（x）是奇函数，∴f（-x₂）=-f（x₂）．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是增函数．
（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）．
（2）由f（x-

1

2

）＜f（x-

1

4

），得

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜x- 1 4

∴-

1

2

≤x≤

5

4

．
∴不等式的解集为{x|-

1

2

≤x≤

5

4

}．
（3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}．
由-1≤x-c²≤1，得-1+c²≤x≤1+c²，
∴Q={x|-1+c²≤x≤1+c²}．
∵P∩Q=∅，
∴1+c＜-1+c²或-1+c＞1+c²，
解得c＞2或c＜-1．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用，但应注意函数的定义域，在定义域内求解．