题目内容
18．给出下列命题，其中错误命题的个数为（ ）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 由线面的位置关系，即可判断（1）、（2）；假设过a的平面与b垂直，由线面垂直的性质定理即可判断（3）；
由空间直线和直线的位置关系，即可判断（4）．
解答 解：对于（1），直线a与平面α不平行，若直线在平面α内，则a与平面α内的无数条直线都平行，故（1）错；
对于（2），直线a与平面α不垂直，若a与平面α平行，则a与平面α内的无数条直线垂直，故（2）错；
对于（3），假设过a的平面与b垂直，即有b垂直于a，与异面直线a、b不垂直矛盾，故（3）对；
对于（4），若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c相交、平行或异面．故（4）错．
综上可得，错误的个数为3．
故选C．
点评 本题考查空间直线和直线以及直线和平面的位置关系的判断，熟记线面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．
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3．已知F1，F2分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）
| A． | $\sqrt{3}$-1 | B． | 2-$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ | D． | $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ |
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2$\sqrt{2}$．