Question

3．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，P是以F₁F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，则这个椭圆的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先根据题意和圆的性质可判断出△F₁PF₂为直角三角形，根据∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，推断出∠PF₁F₂=60°，进而可求得PF₁和PF₂，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，即可求椭圆的离心率．

解答 解：∵P是以F₁F₂为直径的圆与该椭圆的一个交点，
∴△PF₁F₂为直角三角形，且∠P=90°，
∵∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=60°，F₁F₂=2c，
∴PF₁=c，PF₂=$\sqrt{3}$c，
由椭圆的定义知，PF₁+PF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1
∴离心率为$\sqrt{3}$-1．
故选：A

点评 本题主要考查椭圆的简单性质．椭圆的离心率是椭圆基本知识中重要的内容，求离心率的关键是通过挖掘题设信息求得a和c的关系，结合椭圆的定义是解决本题的关键．