Question

8．已知不等式 $1+\frac{1}{4}＜\frac{3}{2}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}＜\frac{5}{3}，1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}＜\frac{7}{4}，…$，照此规律，总结出第 n（n∈N^*）个不等式为1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．

解答 解：由已知三个不等式可以写成1+$\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{2×2-1}{2}$，
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{2×3-1}{3}$，
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}＜\frac{2×4-1}{4}$，
照此规律得到第n个不等式为
1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2（n+1）-1}{n+1}=\frac{2n+1}{n+1}$；
故答案为：1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$（n∈N⁺）．

点评 本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．