题目内容

已知矩阵M=
2  a
2  b
的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4,
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0,求直线l的方程.
考点:矩阵特征值的定义
专题:矩阵和变换
分析:(Ⅰ)根据矩阵M的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4,代入特征多项式,求出a、b的值即可;
(Ⅱ)确定变换前后坐标之间的关系,利用直线l′:x-2y-3=0,求出直线l的方程即可.
解答:解:(Ⅰ)矩阵M的特征多项式f(λ)=
.
λ-2-a
-2λ-b
.
=(λ-2)(λ-b)-2a,
又∵矩阵M的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4,
∴f(-1)=0,f(4)=0,
2a-3b=3
a+b=4

解得a=3,b=1;
(Ⅱ)设P(x,y)是直线l上任意一点,它在矩阵M对应的变换下变为点P′(x′,y′),
23
21
 
x
y
=
x
y

2x+3y=x
2x+y=y

∵点P′(x′,y′)在直线l′:x-2y-3=0上,
∴x′-2y′-3=0,
把x′,y′代人得:2x-y+3=0.
故所求直线l的方程为:2x-y+3=0.
点评:本题主要考查了特征值与特征向量的计算,考查了矩阵变换的运用,属于基础题.
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