题目内容

已知矩阵A=
a
0
1
b
把点(1,1)变换成点(2,2)
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.
考点:几种特殊的矩阵变换
专题:选作题,矩阵和变换
分析:(Ⅰ)根据矩阵A=
a
0
1
b
把点(1,1)变换成点(2,2),求a,b的值;
(Ⅱ)在单位圆上设点P(x,y),P被A变换后变成曲线C上的点Q(x',y'),利用矩阵变换的公式列方程组,并将x、y表示成x'、y'的式子,将此关系式作为点P坐标,代入单位圆方程,化简整理即得变换后的曲线C方程.
解答:解:(I)由
a
0
1
b
1
1
=
2
2
,得
a+1=2
b=2

∴a=1,b=2
(Ⅱ)点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为Q(x',y'),则
11
02
x
y
=
x′
y′
,可得
x=x′-
y′
2
y=
y′
2

代入单位圆方程,得
(x'-
1
2
y')2+(
1
2
y')2=1,化简整理得:(x')2+
1
2
(y')2-x'y'-1=0
∴A将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为:x2+
1
2
y2-xy-1=0.
点评:本题着重考查了矩阵的乘法法则和矩阵变换的含义等知识,属于基础题.
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