Question

8．已知函数f（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2（a≠0），将y=f（x）的图象向左平移2个单位得到y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若y=h（x）的图象与y=g（x）的图象关于x轴对称，求函数y=h（x）的解析式（只需要写出结果，不需要证明）；
（3）设F（x）=f（x）+$\frac{1}{a}$h（x），已知F（x）的最小值为m，且m$＞\sqrt{7}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知可得把函数的图象向左平移2个单位得到y=g（x）的图象，结合函数图象的平移变换法则可得到g（x）的表达式．
（2）利用对称性直接写出结果即可．
（3）写出函数的解析式，利用基本不等式求出函数的最小值，集合已知条件即可求出a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2（a≠0），将y=f（x）的图象向左平移2个单位得到y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=$\frac{a}{{2}^{x}}-{2}^{x}$，
（2）y=h（x）的图象与y=g（x）的图象关于x轴对称，函数y=h（x）的解析式：y=$-\frac{a}{{2}^{x}}+{2}^{x}$．
（3）F（x）=f（x）+$\frac{1}{a}$h（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2$-\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{a}{•2}^{x}$=$\frac{4a-1}{{2}^{x}}+（\frac{1}{a}{-\frac{1}{4}）•2}^{x}$，
F（x）的最小值为m，且m$＞\sqrt{7}$，
当4a-1＞0，$\frac{1}{a}-\frac{1}{4}＞0$，即$\frac{1}{4}＜a＜4$时，$\frac{4a-1}{{2}^{x}}+{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•2}^{x}≥2\sqrt{\frac{4a-1}{{2}^{x}}•{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•2}^{x}}$＞$\sqrt{7}$，
可得$2\sqrt{（4a-1）•{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）}^{\;}}＞\sqrt{7}$，
解得：$\frac{1}{2}＜a＜2$．
实数a的取值范围：$（\frac{1}{2}，2）$．

点评 本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握函数图象的平移变换法则，考查基本不等式的应用．