Question

20．已知两个非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：对任意的实数λ都有|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$|
（1）若|$\overrightarrow{b}$|=2，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，求$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把不等式两边平方，化为关于λ的不等式，再由△≤0求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，结合已知可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，把$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$转化为根式内部后化为关于t的二次三项式求得最小值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$|，得
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}λ+|\overrightarrow{b}{|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-$$\frac{1}{4}$$|\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$，
即$4{λ}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1≥0$．
∵对任意的实数λ都有|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$|，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16≤0$，
即$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2）^{2}≤0$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$；
（2）由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，结合已知可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\sqrt{\frac{（2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}）^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{6}+{t}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}}$
=$\sqrt{4（\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}-2\sqrt{3}t\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-2t+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{（t-1）^{2}+\frac{1}{3}}$．
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质是解答该题的关键，属中档题．