已知两个非零平面向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$满足:对任意的实数λ都有|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$|(1)若|$\overrightarrow{b}$|=2.求$\ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知两个非零平面向量

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ ，

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ 满足：对任意的实数λ都有|

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ +λ

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ |≥|

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ -

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ |
（1）若|

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ |=2，求

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ •

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ 的值；
（2）若

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ 与

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ 的夹角为

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ ，求

\frac{| 2 \vec{a} - t \vec{b} |}{| \vec{b} |}

$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$ （t∈R）的最小值．

分析（1）把不等式两边平方，化为关于λ的不等式，再由△≤0求得 $\overrightarrow{a}$ • $\overrightarrow{b}$ 的值；
（2）由 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，结合已知可得 $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，把 $\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$ 转化为根式内部后化为关于t的二次三项式求得最小值．

解答解：（1）由| $\overrightarrow{a}$ +λ $\overrightarrow{b}$ |≥| $\overrightarrow{a}$ - $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{b}$ |，得
$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}λ+|\overrightarrow{b}{|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-$ $\frac{1}{4}$ $|\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$ ，
即 $4{λ}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}λ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1≥0$ ．
∵对任意的实数λ都有| $\overrightarrow{a}$ +λ $\overrightarrow{b}$ |≥| $\overrightarrow{a}$ - $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{b}$ |，
∴△= $4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16≤0$ ，
即 $（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2）^{2}≤0$ ．
∴ $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$ ；
（2）由 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，结合已知可得 $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
∴ $\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$ = $\sqrt{\frac{（2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}）^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}}$ = $\sqrt{\frac{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{6}+{t}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}}$
= $\sqrt{4（\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}-2\sqrt{3}t\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}+{t}^{2}}$ = $\sqrt{{t}^{2}-2t+\frac{4}{3}}$ = $\sqrt{（t-1）^{2}+\frac{1}{3}}$ ．
∴ $\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．