Question

12．已知圆M经过A（-1，0），B（1，0）和C（a，2）三点．
（1）当a=1时，求圆M的方程；
（2）当a变化时，求圆M截y轴所得弦长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由圆M经过三点A（-1，0），B（1，0）和C（1，2），联立方程组，求得D、E、F的值，可得圆M的方程．
（2）求出圆M的方程，令x=0，可得y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0，即可求圆M截y轴所得弦长的取值范围．

解答 解：（1）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由圆M经过三点A（-1，0），B（1，0）和C（1，2），
可得 $\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{1+4+D+2E+F=0}\end{array}\right.$，求得 D=0，F=-1，E=-2，可得圆M的方程为x²+y²-2y-1=0．
（2）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{{a}^{2}+4+aD+2E+F=0}\end{array}\right.$，∴D=0，F=-1，E=$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$，
可得圆M的方程为x²+y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0．
令x=0，可得y²+$\frac{1}{2}（-3-{a}^{2}）$y-1=0，
圆M截y轴所得弦长$\sqrt{\frac{（-3-{a}^{2}）^{2}}{4}+4}$≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求求圆的方程，直线和圆相交的性质，弦长公式的应用，属于中档题．