题目内容

【题目】已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)k为何值时,方程f(x)-k=0只有1个根

(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R,总存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范围

【答案】(1);(2)k=或0;(3).

【解析】试题分析:(1)先由已知函数求其导数,再根据函数 处取得极值列出关于 的方程即可求得函数的解析式;(2)利用导数研究函数 的单调性,数形结合可得方程f(x)-k=0只有1个根时的 值;(3)函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1R,总存在x2[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),等价于当时, 求出结合换元法,分离参数后,利用基本不等式求解.

试题解析:(1)因为,所以.

又f(x)在处取得极值2,所以,即解得

经检验满足题意,所以 .

(2),令,得.

变化时, 的变化情况如下表:

所以f(x)在处取得极小值,在处取得极大值

时, ,所以的最小值为

如图

所以k=或0时,方程有一个根.

(也可直接用方程来判断根的情况解决)

(3)由(2)得的最小值为

因为对任意的,总存在,使得

所以当时, 有解,

上有解.

,则,所以.

所以当时,

的取值范围为.

【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题、方程根的个数问题以及函数极值问题,属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正,不但可以利用一元二次方程根的分布解题,还可以转化为有解(即可)或转化为有解(即可),本题(3)就用了这种方法.

练习册系列答案
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(1)求与圆相切且与直线垂直的直线方程

(2)在直线为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点都有为一常数试求所有满足条件的点的坐标.

【答案】(1)(2)答案见解析.

【解析】试题分析:

(1)设所求直线方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程,解方程可得则所求直线方程为

(2)方法1:假设存在这样的点由题意可得,然后证明为常数为即可.

方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则据此得到关于的方程组,求解方程组可得存在点对于圆上任一点,都有为常数.

试题解析:

(1)设所求直线方程为,即

∵直线与圆相切,∴,得

∴所求直线方程为

(2)方法1:假设存在这样的点

为圆轴左交点时,

为圆轴右交点时,

依题意,,解得,(舍去),或.

下面证明点对于圆上任一点,都有为一常数.

,则

从而为常数.

方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则

,将代入得,

,即

恒成立,

,解得(舍去),

所以存在点对于圆上任一点,都有为常数.

点睛:求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

型】解答
束】
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【题目】已知函数的导函数为其中为常数.

(1)当的最大值并推断方程是否有实数解

(2)若在区间上的最大值为-3,的值.

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